표본 분포와 신뢰 구간, 표본의 크기 도출

1. 관련 용어 정리
   1. 표본 분포
      1. Z 분포: 표본 평균의 확률 분포. 모분산을 알거나 n>30일 때 사용, 좌우대칭
         1. 평균차이(일, 독립, 대응표본), 비율차이(단일집단, 두집단) 검정에 사용
         2. Z 분포 활용을 위해 평균의 검정통계량을 도출할 때는 표본 오차(x̅-μ)를 표본 표준편차(σ/√n)로 나눈 다. 이를 통해 값은 평균이 0이고 분산이 1인 정규분포로 표준화된다.
            1. Z=(x̅-μ)/(σ/√n)
      2. t 분포: 표본 평균의 확률 분포. 모분산을 모르고 N<30일 때 사용, 좌우대칭
         1. 일표본, 독립표본, 대응표본 검정에 사용
         2. t 분포 활용을 위해 평균의 검정통계량을 도출할 때는 모집단의 분산 대신 표본의 분산을 사용하여 공식이 다음과 같이 변한다.
            1. t=(x̅-μ)/(S/√n)
      3. 카이제곱 분포: 표본 분산의 확률 분포, 좌우 비대칭
         1. 카이제곱 독립성 검정, 카이제곱 적합성 검정에서 사용
      4. F 분포: 표본 분산의 확률 분포, 좌우 비대칭
         1. 두 집단 분산 차이 검정, 분산분석, 회귀분석에서 사용
   2. 표본 오차: 모수와 통계량의 차이로 표본평균분포의 표준편차로 추정한다.
   3. 중심 극한 정리: 크기 n의 집단을 계속하여 추출하는 경우 표본평균의 분포는 평균이 모집단의 평균, 표준편차는 표준편차를 크기 n의 제곱근으로 나눈 값으로 하는 정규분포에 근접한다.
   4. 자유도: (n-추정된 모수의 수)
   5. 신뢰 구간
      1. 평균의 추정 구간은 평균에서 Za½*(표준편차(σ)를 크기 n의 제곱근으로 나눈 값)을 더하고 뺀 구간이다.
         1. 수식으로는 2*Za½*σ/√n 이다.
      2. 확률의 추정 구간은 평균에서 Za½*(표본확률과 1에서 표본확률을 뺀 것을 곱한 후 크기 n으로 나눈 것의 제곱근)을 더하고 뺀 구간이다.
         1. 수식으로는 2*Za½*√p̂(1-p̂)/E 이다.
   6. 표본 크기: 신뢰 구간의 길이에서 추정할 수 있다.
      1. 평균 추정 시 필요한 표본 크기 도출
         
         1. 신뢰 구간의 길이가 허용 오차보다 같거나 작아야 신뢰할 수 있다.
         2. 그러므로 허용오차(E)>=신뢰 구간의 길이
         3. 수식으로 풀어쓰면 E>=2*Za½*σ/√n이 된다.
         4. 이를 표본의 크기 n 기준으로 정리하면 다음과 같다.
            1. √n>=2*Za½*σ/E
            2. n>=4*(Za½)²*σ²/E²
         5. 참고로 Za½값은 신뢰 수준이 90%일 때 1.65, 95%일 때 1.96, 99%일때 2.58이다.
      2. 비율 추정 시 필요한 표본 크기 도출
         1. 신뢰 구간의 길이가 허용 오차보다 같거나 작아야 신뢰할 수 있다.
         2. 그러므로 허용오차(E)>=신뢰 구간의 길이
         3. 수식으로 풀어쓰면 E>=2∗Za½*√p̂(1-p̂)/√n이 된다.
            1. p̂은 표본 비율이다(모비율은 p)
         4. 이를 표본의 크기 n 기준으로 정리하면 다음과 같다
            1. √n>=2∗Za½*√p̂(1-p̂)/E
            2. n>=4*(Za½)²*p̂(1-p̂)/E²
            3. 이 때 p̂(1-p̂)는 p̂가 1/2일 때 가장 커지므로 안전한 표본 크기 확보를 위해서는 p̂를 1/2로 두는 것이 바람직하다.
            4. 따라서 다음과 같은 식이 도출된다.
               1. n>=4*(Za½)²*0.5(0.5)/E²
            5. n>=(Za½)²/E²
         5. 참고로 Za½값은 신뢰 수준이 90%일 때 1.65, 95%일 때 1.96, 99%일때 2.58이다.