집단의 평균 차이 검정 실습

 집단의 평균 차이를 검정하는 순서는 지난번 확인한 가설 검정의 단계와 동일하다. 최근 경영지도사 30점 문제에서는 대부분 문제를 10점짜리 소문제로 나누어 제시하므로 제시하는 소문제에 맞게 나누어 기재하면 된다.

 

1. 가설과 유의 수준 결정
2. 검정 통계량 결정
3. 기각역 결정
4. 검정 통계량 계산
5. 통계적 의사결정

 

• 단일 표본 t 검정 : 모집단과 표본 집단의 차이를 확인하는 것. 

 

문1. 2018년 경영지도사 30점 문제

 

과거 고객센터의 하루 평균 불평 건수는 20건으로 확인된다. 소비자 만족도 향상을 위한 일련의 노력 이후 하루 평균 불평 건수가 감소했을 것으로 예상된다. 최근 25일간의 데이터를 보았을 때 하루 평균 불평 건수는 16건, 표준편차는 4건으로 확인하였다. 이때 하루 평균 불평 건수는 감소했다고 할 수 있는가? (α=. 05)

 

  1) 귀무가설과 대립가설을 설정하라

 

- 귀무가설: 고객센터의 하루 평균 불평 건수는 일련의 노력 이전과 동일하다.(차이가 없다)

- 대립가설: 고객센터의 하루 평균 불평 건수는 일련의 노력 이후 감소하였다.

 

  2) t-test를 통해 검정 통계량을 계산하라 [ t=(x̅-μ)/(S/√n) ]

 

검정통계량 계산을 위한 공식이 주어졌으므로 단순히 값을 넣어 계산이 가능하다.

 

t=(16-20)/(4/5)=-5

 

검정 통계량은 0.2이다.

 

  3) 검정 통계량을 참고하여 가설의 기각 여부와 결론을 설명하라

 

문제에서 유의 수준은 0.05로 주어졌고 자유도는 24(25-1)로 t 분포표로 확인되는 임계값은 1.711이다.

감소 여부를 확인하는 단측 검정이기 때문에 계산된 검정 통계량과 음의 임계값 -1.711을 비교한다.

계산된 검정 통계량이 -5로 음의 임계값보다 작으므로 영가설을 기각할 수 있다.

따라서 일련의 노력을 통해 고객센터의 하루 평균 불평 건수는 감소하였다.

 

 

문2. 2020년 경영지도사 30점 문제

 

지난해 하루 평균 판매량이 100개인 가게에서 최근 몇 달간 판촉 캠페인을 진행하였다. 그 결과 최근 25일의 하루 평균 판매량은 120개, 표준편차는 20개로 나타났다. 이때 판촉 캠페인을 통해 하루 평균 판매량이 증가했다고 할 수 있는가?(α=. 05)

 

  1) 귀무가설과 대립가설을 설정하라

 

- 귀무가설: 매장의 하루 평균 판매량은 판촉 캠페인 이전과 동일하다.(차이가 없다)

- 대립가설: 매장의 하루 평균 판매량은 판촉 캠페인 이후 증가하였다.

 

  2) t-test를 통해 검정 통계량을 계산하는 식을 적고 검정통계량을 계산하라.

 

t 검정통계량을 계산하는 공식은 표본의 평균에서 모집단의 평균을 뺀 값을 표본의 표준편차를 표본 수의 제곱근으로 나눈 값으로 나누는 것이다. 수식으로 표현하면 t=(x̅-μ)/(S/√n)이다.

 

문제에서 제시된 경우의 검정통계량을 계산하면 다음과 같다.

 

t=(120-100)/(20/5)=20/4=5

 

  3) 검정통계량을 참고하여 가설의 기각 여부와 결론을 설명하라

 

문제에서 유의 수준은 0.05로 주어졌고 자유도는 24(25-1)이다. t 분포표를 통해 확인되는 임계값은 1.711이다.

이 건은 증가 여부를 확인하는 단측 검증이므로 임계값 1.711과 검정 통계량 5를 비교한다.

검정 통계량이 임계값보다 크므로 귀무가설을 기각한다.

따라서 판촉 캠페인 이후 매장의 하루 평균 판매량은 증가하였다.

 

 

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표본이 30개 이상인 경우 Z값을 사용할 수 있는데 이 때도 검정 통계량을 Z값을 통해 도출하는 것과 Z 분포표를 사용하는 것 외의 과정은 동일하다. 참고로 Z=(x̅-μ)/(σ/√n)로 검정 통계량 공식은 t값과 거의 동일하다.

 

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• 대응표본 t 검정: 짝을 이룬 값들 사이의 차이를 확인하는 것.

문1. 포장 디자인이 상품 매출에 영향을 미칠 것으로 판단하고 새로운 포장 디자인 A, B를 개발하였다. 두 가지 디자인의 상품을 무작위로 선정한 8개의 매장에 진열하고 매출을 조사하였을 때 아래와 같이 나타났다. 이 때 포장 디자인은 상품 매출에 영향을 준다고 할 수 있는가? (α=. 05)

 

매장	디자인 A	디자인 B	di(둘 사이의 차이)	(둘 사이의 차이-평균 차이)제곱
ㄱ	37	26	11	49
ㄴ	19	11	8	16
ㄷ	17	17	0	16
ㄹ	22	16	6	4
ㅁ	32	35	-3	49
ㅂ	10	6	4	0
ㅅ	14	13	1	9
ㅇ	17	12	5	1
			평균 차이: 4	계: 144

 

 

  1. 가설과 유의수준 설정

 

- 귀무가설: 포장 디자인에 따른 매출의 차이는 없다.

- 대립가설: 포장 디자인에 따라 매출 차이가 있다.

- 유의수준은 0.05로 제시되었다.

 

  2. 검정통계량 결정

 

표본의 수가 적으므로 t-test를 사용한다.

(표본의 수가 많고 표본 평균의 정규성을 만족하지 못하는 경우에는 다른 방식을 사용한다. 이 경우는 범위를 벗어나니 고려하지 않아도 좋다.)

 

  3. 기각역 결정

 

차이의 유무를 확인하는 양측 검정이므로 α가 양쪽으로 나뉘어 0.025가 된다. 표본의 수는 8개로 자유도는 8-1, 7이 된다.

 

t 분포표에서 해당하는 값은 2.365로 검정통계량이 -2.365보다 작거나 2.365보다 큰 경우 귀무가설을 기각하게 된다.

 

  4. 검정통계량 계산

 

대응 표본 t 검정 시 검정통계량은 단일 표본 t 검정에서의 것과 동일하다. 다만 일부 값이 대체된다. 표본 사이 차이의 평균에서 귀무 가설에서 설정한 둘 사이의 차이를 뺀 값을 표본 사이 편차의 표준편차를 표본 수의 제곱근으로 나눈 값으로 나누는 것이다.

 

수식으로 하면 t=d(bar)-D0/(Sd/√n) 이다.

(표본 사이 편차의 표준편차인 Sd는 각 표본 사이의 차이값과 표본 사이 차이를 뺀 값을 제곱한 뒤 모두 더한 것을 표본의 수에서 1을 뺀 값으로 나누어 구한다.)

 

이 때 통상 귀무 가설에서 둘 사이의 차이는 없다고 가정하므로 D0=0이 된다.

 

문제에서 주어진 값을 대입하면 t=4/{√(144/7)/√8}=4/(4.54/2.83)=4/1.60=2.45

검정통계량은 약 2.45로 확인된다.

 

  5. 통계적 의사결정

 

계산된 검정통계량이 2.45로 임계값 2.365보다 크기 때문에 귀무 가설을 기각한다.

포장 디자인에 따라 상품 매출은 차이가 있다.

 

 

• 독립표본 t 검정: 두 독립적인 모집단의 차이를 확인하는 것. 두 모집단이 정규분포를 이루고 등분산임을 가정한다.

문1. 신입사원을 18명을 무작위로 두 집단으로 나누어 A안, B안으로 교육하였다. 교육 후 6개월간 이들의 성과를 평가한 결과 아래 표와 같이 나타났다. 이 때 교육 방법에 따라 성과가 달라진다고 할 수 있는가? (α=. 05)

 

A안		B안
32	44	35	34
37	35	31	40
35	31	29	27
28	34	25	32
41		31

 

  1. 가설과 유의수준 설정

 

- 귀무가설: 교육 방법에 따른 판매 실적 차이는 없다.

- 대립가설: 교육 방법에 따라 판매 실적은 달라진다.

- 유의수준은 문제에서 0.05로 제시되었다.

 

  2. 검정통계량 결정

 

표본의 수가 적으므로 t-test를 사용한다.

(표본의 수가 많은 경우는 시험 범위를 벗어나며 엄격한 검정을 위해 표본이 30개 이상인 경우에도 Z-test보다 t-test를 사용하는 것이 바람직하다.)

 

  3. 기각역 결정

 

차이의 유무를 확인하는 양측 검정이므로 α가 양쪽으로 나뉘어 0.025가 된다. 표본의 수는 16개로 자유도는 16-2(각 집단의 표본의 수에서 집단의 수를 제하여 구한다. 다만 두 집단인 경우에만 사용하므로 항상 두 집단의 표본의 수의 합에서 2를 뺀 형태가 된다), 14가 된다.

 

t 분포표에서 해당하는 값은 2.120으로 검정통계량이 -2.120보다 작거나 2.120보다 큰 경우 귀무가설을 기각하게 된다.

 

  4. 검정통계량 계산

 

독립 표본 t 검정의 검정통계량 공식도 단일 표본 t 검정의 공식에서 일부 값이 대체된다. 각 모집단의 평균의 차이에서 귀무 가설에서 설정한 둘 사이의 차이를 뺀 값을 두 모집단을 결합하였을 때의 표준편차를 각 집단의 표본 수의 역수를 더한 것의 제곱근을 곱한 값으로 나누는 것이다.

 

복잡한 내용을 수식으로 나타내면 다음과 같다.

 

t={X1(bar)-X2(bar)-D0}/s*√(1/n1+1/n2)

(두 모집단을 결합하였을 때의 표준편차인 s는 각 모집단의 평균과 해당 모집단의 표본값의 차이를 제곱한 것의 총합을 두 집단의 표본 수에서 2를 뺀 것으로 나눈 것의 제곱근이다.)

 

이 때 통상 귀무 가설에서 둘 사이의 차이는 없다고 가정하므로 D0=0이 된다.

 

문제에서 주어진 값을 대입하면 t=(35.22-31.56)/s√(1/9+1/9)=3.67/s√(2/9)=3.67/(4.72*0.47)=3.67/2.22=1.65

s=√{(195.56+160.22)/16}=√22.23=4.72

 

검정통계량은 약 1.65로 확인된다.

 

  5. 통계적 의사결정

 

계산된 검정통계량이 1.65로 2.12와 -2.12 사이에 있어 기각역에 위치하지 않기 때문에 귀무 가설을 기각할 수 없다.

교육안에 따른 성과 차이는 없다.